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知識引導

多者合作研究的是多個主體通過一定的方式合作完工的一類問題。特點為有多個主體完成同一項工作，所以效率一般為多個主體的效率之和。

【資料圖】

解題原則

解決多者合作，關鍵在于梳理題干描述的不同合作方式，可適當結合題干信息將未知量設為特值，來簡化運算。不同題型對應設不同的量為特值，再結合工程問題的基本公式，那么多者合作問題便可以迅速解決。

解題思路

一、已知不同主體完成同一項工程所用的時間，設工作總量為“1”或者為完工時間的公倍數

二、已知各個主體之間的效率比，按最簡比設效率為特值

三、已知多個主體的效率相同時，設每個主體單位效率為1

練習題

例1

一項工程，甲單獨做要10天，乙單獨做要15天。若甲乙合作，需要多少天?

A.4 B.5 C.6 D.7

【中公解析】C。題干已知多個主體完工時間，可設工作總量為完工時間的公倍數，而為了計算得更加簡便，一般設為最小公倍數。由題目已知，甲乙各自的完工時間，那么就設工作總量為10和15的最小公倍數，也就是30。通過公式：工作效率=工作總量÷工作時間，從而得到甲的效率是3，乙的效率是2。最終求合作所需時間，直接用工作總量÷合作工作效率和，即30÷(2+3)=6天，選C。

例2

甲、乙兩隊完成一項工程的效率比為2∶5。該項工程，若由甲工程隊先單獨做3天，再由乙工程隊單獨做4天，最后由甲、乙兩個工程隊合作6天剛好完成。問若由甲工程隊單獨完成，需要多少天?

A.30 B.32 C.34 D.36

【中公解析】C。題目直接給了甲乙的效率之比，已知多個主體效率關系時，一般可將效率最簡比設為各自的效率，也就是甲的效率是2，乙的效率是5。這道題最終求這項工程由甲工程隊單獨完成的時間，已知甲工程隊的效率，還需知道這項工程的工作總量。梳理一下題干所給的工作方式。甲工程隊單獨做3天，再由乙工程隊單獨做4天，最后甲乙兩個工程隊合作6天剛好完成，所以工程的工作總量為：3×2+4×5+6×(2+5)=68，最終甲工程隊單獨做所需的時間為68÷2=34天，選C。

例3

有一批工人進行某項工程，每個人的工作效率相同。如果能再調來8個人，10天就能完成;如果能再調來3個人就要20天才能完成。現在只能再調來2個人，那么完成這項工程需要多少天?

A.20 B.22 C.25 D.30

【中公解析】C。設每個人的效率為1，原來有x個工人，所求為t天，則有(x+8)×10=(x+3)×20=(x+2)×t，解得x=2，t=25，選擇C。

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